Выход

Профиль пользователя
Главная страница
Все на свете познается
 
Меню сайта
Основы мироздания
Читать,думать..+comment

Форум, обновления
  • Скорость времени.
  • Антимир возможен?
  • Терминология
  • Новости сайта
    Коммент к новостям
    Блог.
    Блог, обновление
    Скорость времени.(3)
    Я многое ещё не знаю!(1)
    Кукушка кукует.(1)
    Коммент к блогу
    Статьи
    Статьи обновление
  • Разъяснения парадоксов ТО.(0)
  • Заглянем вечности в лицо?(2)
  • Единый эталон: время - длина - частота.(0)
  • Коммент к статьям
    Статистика

    Онлайн всего: 1
    Гостей: 1
    Пользователей: 0


  • Сегодня посетили Никс


  • Сайт существует
    Главная » Статьи » Космогония » Математическая физика

    Лоренц, Эдвард Нортон
    •    Джеймс Глейк
    •    Памяти Эдварда Нортона Лоренца:
    «ЭФФЕКТ БАБОЧКИ»
    •    Глава из книги «Хаос: создание новой науки»
            "Физикам нравится думать, будто все, что надо сделать, сводится к фразе: вот начальные условия; что случится дальше?"
    Ричард Ф. Фейнман

         "... сегодняшнее трепетание крыльев мотылька в Пекине через месяц может вызвать ураган в Нью-Йорке..."   
    •    Солнце катилось по небу, никогда не знавшему облаков. Ветры обтекали землю, гладкую, как стекло. Ночь никогда не наступала, осень никогда не сменялась зимой. Никогда не шел дождь. Погода, смоделированная новым компьютером Эдварда Лоренца, менялась медленно, но вполне определенно, напоминая ясный полдень в межсезонье, как будто мир превратился в сказочный Камелот или некое подобие Южной Калифорнии.
    •    Из своего окна Лоренц мог наблюдать более реальные картины: утренний туман, окутавший почти весь кампус Массачусетского технологического института, или низкие облака с Атлантики, нависающие над верхушками крыш. Ни то ни другое не появлялось в его компьютерной модели. Сама вычислительная машина модели «Royal Мс'Вее» — скопище проводов и вакуумных ламп — занимала добрую половину кабинета Лоренца, была раздражающе шумной и ломалась не реже раза в неделю. Это устройство не обладало ни достаточным быстродействием, ни объемом памяти, необходимым для того, чтобы построить реальную модель атмосферы и гидросферы Земли. И все же в 1960 г. Лоренц создал мини-модель погоды, которая привела в восторг его коллег. Каждую минуту компьютер выдавал стройные ряды чисел. Посвященным они сообщали, что господствующее сейчас западное направление ветра скоро сменится на северное, потом на южное и вновь на северное. Оцифрованные циклоны в компьютере Лоренца медленно кружились по воображаемому глобусу. Как только об этом узнали на факультете, преподаватели и старшекурсники стали заключать пари, пытаясь угадать, какой будет искусственная погода в каждый следующий момент. И почему-то машина не повторялась.
    •    Лоренц просто наслаждался погодой — весьма полезная наклонность для исследователя-метеоролога. Смакуя изменчивость атмосферных явлений, он постигал природу происходящего в скоплениях воздушных вихрей и циклонов, которые, неизменно подчиняясь математическим законам, в точности не воспроизводились ни разу. Ученому казалось, что облакам присуща особая структура. Раньше он опасался, что научное исследование погоды сродни попыткам разобрать шкатулку с секретом при помощи отвертки. Теперь же Лоренц гадал, способно ли вообще рациональное знание проникнуть в это таинство. Погода обладала свойствами, какие нельзя объяснить с помощью средних величин. Средняя температура июня в Кембридже и Массачусетсе держится на уровне 75 градусов по Фаренгейту... Дождливая погода в Эр-Рияде (Саудовская Аравия) в среднем выпадает на 10 дней в году — вот о чем говорила статистика. Суть же состоит в том, как сменяются модели атмосферных процессов с течением времени. Именно ее и сумел ухватить Лоренц.
    •    Творец и вседержитель компьютерной Вселенной, он волен был устанавливать законы природы по своему усмотрению. После нескольких проб и ошибок, отнюдь не божественного свойства, он выбрал двенадцать уравнений описывающих связь между температурой и атмосферным давлением, а также между давлением и скоростью ветра. Лоренц применил на практике законы Ньютона — вполне подходящий инструмент для Небесного Часовщика, который сотворил мир и устанавливает завод на вечность. Благодаря детерминизму физических законов дальнейшего вмешательства не требовалось. Творцы машинных моделей верили, что ныне и во веки веков законы движения подводят под их расчеты базу математической определенности. Постигни закон — и ты поймешь Вселенную! В этом заключалась философия компьютерного моделирования погоды.
    Рассмотрим знаменитый пример, весьма наглядно
    демонстрирующий, что стоит за термином «хаотическая динамика». Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере. Он написал программу для решения следующей системы дифференциальных уравнений:
    dx/dt = s(-x + y),
    dy/dt = rx – y – xz,
    dz/dt = -bz + xy.
    В дальнейших расчетах параметры s, r и b постоянны и принимают значения s = -10, r = 28 и b = 8/3.
    Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени. Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Но самое неожиданное было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое.
    Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру), прежде чем осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий --- основной чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды. Сам Лоренц разъяснил это понятие в статье «Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в Техасе?», опубликованной в 1979 году.
     
    Аттрактор Лоренца.
    "Несмотря на большую значимость эксперимента Лоренца, в данной работе не будут рассматриваться модели, связанные с динамическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. Напротив, мы будем рассматривать наиболее простые модели хаотической динамики --- дискретные, к которым относится знаменитое и вездесущее множество Мандельброта и сопутствующие ему множества Жюлиа".
    •    Мыслители XVIII века представляли себе Творца благожелательным и не склонным к излишнему вмешательству в мирские дела, наблюдателем. Именно таков был Лоренц. Он принадлежал к породе людей чудаковатых. Удивительные глаза его всегда смеялись, придавая усталому лицу фермера-янки неизменно веселое выражение. Он редко говорил о себе и своей работе, предпочитая слушать, и при этом частенько уносился мыслью в такие дали, что был недосягаем для коллег. Самые близкие друзья его чувствовали, что львиную долю своего свободного времени Лоренц проводит в заоблачных мирах.
    •    Мальчиком он был просто помешан на погоде и составлял весьма точные таблицы дневной температуры, фиксируя с помощью термометра ее минимумы и максимумы в Вест-Хартворде, штат Коннектикут, где жила его семья. Впрочем, чаще всего он сидел дома, погруженный в сборники математических головоломок. Иногда Эдвард решал их вместе с отцом. Однажды они столкнулись с особенно сложной задачей, которая оказалась неразрешимой. Ничего страшного, утешил отец, вовсе не обязательно решать задачу, достаточно доказать, что решения просто не существует. Лоренца пленила эта мысль, ясная, как и вся математика. Закончив в 1938 г. колледж в Дартмуте, он решил посвятить себя этой науке. Однако обстоятельства помешали его планам: началась Вторая мировая война. Лоренц стал метеорологом ВВС США. После войны он не только не оставил занятий метеорологией, но и изучил ее теоретические основы, расширив и углубив свои математические познания. Работа, посвященная общему круговороту атмосферы, принесла ему известность. Одновременно Лоренц продолжал заниматься прогнозированием.
    •    Даже самые серьезные и опытные метеорологи вряд ли считали наукой составление прогнозов погоды — заурядное ремесло для набивших руку и не лишенных интуиции людей, работа, которой свойственна некоторая доля шаманства. В крупных научных центрах, вроде Массачусетсского технологического института, метеорологи тяготели к проблемам, имеющим строгое решение. Лоренц, как и любой другой специалист, вполне сознавал прагматическое назначение прогнозов, составляемых в помощь военной авиации, но до поры до времени прятал свой теоретический интерес к прогнозированию с позиций математики.
    •    В 60-е годы прогнозирование было презираемо не только метеорологами — почти все уважающие себя ученые не доверяли компьютерам. Эти счетные машины, значение которых было явно преувеличено, вряд ли могли рассматриваться как инструмент для серьезных занятий наукой. Таким образом, численное моделирование погоды оказалось делом весьма неблагодарным, хотя время для опытов наступало. Вот уже два столетия наука об атмосфере ждала появления машины, способной снова и снова производить тысячи вычислений, повинуясь указаниям человека. Лишь компьютер мог доказать, чтo миp идет по пути детерминизма, что погода подчиняется законам, столь же незыблемым, как и принципы движения планет, наступления солнечных и лунных затмений, морских приливов и отливов. Теоретически электронная машина позволяла метеорологам предпринять то, что астрономы проделывали с помощью карандаша и логарифмической линейки: рассчитать будущее Вселенной исходя из ее начального состояния и физических закономерностей, управляющих ее эволюцией. Уравнения, описывающие циркуляцию воздуха и воды, были так же хорошо известны, как и те, которым подчинялся ход планет. Кстати, астрономы не достигли совершенства — оно недостижимо в Солнечной системе, раздираемой тяготением девяти планет, множества спутников и астероидов. Тем не менее астрономические расчеты были столь точны, что люди подчас забывали об их прогностическом характере. Когда астроном говорил, что комета Галлея вновь приблизится к Земле через семьдесят шесть лет, это воспринималось как факт, а не как предсказание. Тщательно составленные численные прогнозы, основанные на детерминизме, определяли траектории космических кораблей и ракет. Отсюда следовал вывод: почему бы не рассчитать поведение ветра и облаков?
    •    Погода, при всей сложности этого феномена, подчиняется тем же законам Ньютоновой механики. Сверхмощный компьютер мог стать Высшим Разумом, способным, по представлениям Лапласа, философа-математика XVIII века, по-своему воспринявшего идеи Ньютона, описать «единой формулой движения как наиболее крупных тел во Вселенной, так и легчайшего атома; для него не останется ничего неопределенного, и будущее предстанет перед ним наряду с прошлым». В эпоху, когда господствовали теория относительности Эйнштейна и принцип неопределенности Гейзенберга, оптимизм Лапласа казался просто шутовством; однако многие из современных ученых пытались воплотить его мечту. Вполне понятно стремление исследователей XX века — биологов, физиологов, экономистов — разложить свои миры на атомы, подчиняющиеся законам науки. Во всех названных дисциплинах господствовал детерминизм сродни ньютоновскому. Отцы-основатели современной компьютерной премудрости всегда помнили о Лапласе, и развитие ЭВМ шло бок о бок с прогрессом прогнозирования еще с тех пор, когда Джон фон Нейман в 1950-х годах сконструировал свои первые машины в Институте перспективных исследований, в Принстоне. Кстати, Нейман признавал, что моделирование погоды может стать идеальным заданием для компьютера.
    •    Впрочем, существовало одно маленькое «но», столь незначительное, что ученые старались позабыть о нем, упрятать подальше, как прячут в ящик стола неоплаченный счет. Проблема звучит так: измерения никогда не бывают совершенными. Ученые, вставшие под ньютоновские знамена, обычно выдвигают следующий аргумент: имея приблизительные данные о начальном состоянии системы и понимая естественный закон, которому она подчиняется, можно рассчитать ее примерное поведение. Такой подход вытекает из самой философии науки. Один видный теоретик любил подчеркивать в своих лекциях:
    •    «Главная идея науки состоит в том, чтобы не обращать внимания на лист, падающий в одном из миров другой галактики, когда вы пытаетесь объяснить движение шарика по бильярдному столу на планете Земля. Небольшими воздействиями можно пренебречь. Существует конвергенция в поведении объектов, и произвольно возникающие незначительные факторы не настолько значительны, чтобы приводить к произвольно большим конечным эффектам». Как правило, вера в приблизительность и конвергенцию вполне себя оправдывает. Крошечная погрешность в определении координат кометы Галлея в 1910 г. незначительно исказила прогноз времени следующего ее появления, которое состоялось в 1986 г. Эта ошибка останется столь же малой в ближайшие миллионы лет. Компьютеры, направляющие космические корабли, на основе относительно точных исходных данных дают относительно точный результат. С тем же успехом действуют экономисты, составляя прогнозы, хотя результат их работы и не столь очевиден. Пионеры прогнозирования погоды не были исключением.
    •    С помощью своего примитивного компьютера Лоренц буквально разобрал погоду по кирпичикам, но все же казалось, что в его распечатках поведение ветра и температуры обнаруживает нечто узнаваемое, земное. Так проявлялась зрелая интуиция исследователя, его чувство погоды, которая по ощущению Лоренца повторялась, демонстрируя время от времени одни и те же схемы: давление росло и снижалось, воздушные массы устремлялись то на север, то на юг. Ученый выяснил, что, когда кривая плавно идет вниз, не образуя ярко выраженного максимума, на графике вскоре обозначатся две резких выпуклости. Лоренц утверждал, что эту закономерность вполне может применять метеоролог. Однако повторения никогда не были полностью идентичными. В рамках общей модели всякий раз обнаруживались отклонения — своего рода упорядоченный беспорядок.
    •    Чтобы сделать результаты своих исследований более понятными, Лоренц создал несложную графику: вместо изображения обычных рядов чисел машина стала печатать некоторое количество пробелов, за которыми следовала буква «А». Ученый выбирал одну переменную, например направление воздушного потока, и постепенно символы заполняли собой весь рулон заправленной в принтер бумаги, образуя извилистую кривую, множество холмов и долин, изображавших отклонения западного ветра к северу и к югу в масштабах всего североамериканского континента. Эти линии, подчиненные определенным законам, узнаваемые циклы, появлявшиеся снова и снова, но каждый раз в несколько ином обличье, обладали каким-то гипнотическим очарованием. Казалось, система медленно раскрывает Лоренцу свои секреты. Однажды, зимой 1961 г., намереваясь изучить определенную последовательность событий, он несколько сократил исследование — приступил к построению не с начальной точки, а с середины. В качестве исходных данных ученый ввел цифры из предыдущей распечатки. Когда он через час вернулся, отдохнув от шума и выпив чашку кофе, то увидел нечто неожиданное, давшее начало новой науке.
    •    Новый отрезок должен был полностью повторить предыдущий, ведь Лоренц собственноручно ввел в компьютер числа, и программа оставалась неизменной. Тем не менее график существенно расходился с ранее полученным. Лоренц посмотрел сначала на один ряд чисел, потом на второй... С таким же успехом он мог наугад выбрать две случайные модели погоды. И первое, о чем он подумал, — вышла из строя вакуумная лампа.
    •    Внезапно ученый все понял. Машина работала нормально, а разгадка заключалась в числах, заложенных им в компьютер. Машина могла хранить в памяти шесть цифр после запятой, например ...,506127. На распечатку же, в целях экономии места, выдавалось всего три: ...,506. Лоренц ввел укороченные, округленные значения, предположив, что разница в тысячных долях несущественна.
    •    Предположение выглядело вполне разумно: если спутник., наблюдающий за погодой, способен фиксировать температуру поверхности океана с точностью до тысячных долей, это можно считать крупным везением. «Royal МсВее» Лоренца выполнял программу, в которую заложили детерминистскую систему уравнений; отправляясь от заданной начальной точки, компьютер строил модель погоды каждый раз по одному и тому же образцу. Следовало предполагать, что при незначительном отличии начальной точки от введенной ранее модель будет чуть-чуть расходиться с предыдущим вариантом. Небольшая числовая погрешность походила на еле уловимое дуновение ветерка. Казалось, малозаметные перемещения воздушных масс неизбежно затухнут или взаимно погасят друг друга, прежде чем вызовут крупномасштабные изменения погоды. И все-таки в системе уравнений Лоренца малые погрешности оказались катастрофическими.
    •    Ученый решил внимательно изучить, каким образом разошлись два почти идентичных графика. Он скопировал одну из полученных кривых на прозрачную бумагу и наложил ее на вторую, чтобы проследить отклонения. Первые максимумы почти совпали, но потом одна из линий начала слегка отставать. Когда оба графика достигли второго максимума, их фазы уже определенно различались. К третьему и четвертому максимуму все сходство исчезало (см. рис 1).
    •    Был ли виноват в том несовершенный компьютер? Лоренц мог предположить, что либо машина его подвела, либо модель изначально сконструирована неудачно, — он вполне мог бы так подумать. Но, руководствуясь математической интуицией, которую коллеги Лоренца оценили с запозданием, исследователь внезапно ощутил. что-то вышло из накатанной колеи! Практическая важность открытия могла оказаться огромной, и хотя уравнения Лоренца являлись лишь грубой имитацией погоды на земном шаре, он уверовал, что ему открылась сущность реальной атмосферы. И впервые понял: долгосрочное прогнозирование погоды обречено.
     
    (Из распечаток Лоренца 1961 г.)
    Рис 1. Расхождение двух графиков погоды.
    Эдвард Лоренц заметил, что его программа строит модели, которые, хотя и берут начало примерно из одной точки, все более и более отклоняются друг от друга, и сходство в конце концов пропадает.
    •    «Нам не всегда сопутствовала удача в наших изысканиях, и теперь мы нашли причину, — говорил ученый. — Думаю, люди полагали возможным предсказание погоды на большие периоды времени потому, что в мире существуют физические феномены, которые вполне поддаются прогнозированию, например затмения и океанические течения. Я никогда не считал прогнозы приливов и отливов предсказаниями, воспринимая их как факты, хотя, безусловно, им присуща доля вероятности. Явление приливов и отливов, как, впрочем, и атмосферные процессы, вряд ли можно считать простыми, но в обоих случаях имеются периодические компоненты, за счет чего можно предугадать, что следующее лето будет теплее зимы. В этом смысле мы воспринимаем погоду так, как БУДТО уже ее знаем. Что касается приливов, то в них присутствует некая прогнозируемая составляющая, в которой мы и заинтересованы; часть же, не поддающаяся предвидению, достаточно мала, если, конечно, сама природа не докажет обратное. Итак, если приливы и отливы могут быть с достаточной точностью предсказаны на несколько месяцев вперед, то вполне резонно звучит вопрос, почему мы не в силах проделать то же самое в отношении атмосферы. Однако это совсем другая среда, со своими законами и непериодическими возмущениями. Изучая ее, я осознал, что любая непериодичная физическая система непредсказуема».
    •    Пятидесятые и шестидесятые годы XX века стали временем неоправданного оптимизма по поводу возможностей предсказания погоды. Газеты и журналы наперебой твердили о надеждах, возлагаемых на новую науку, даже не столько на прогнозирование, сколько на изменение погодных условий и управление ими. Развивались сразу две технические новации — цифровые компьютеры и искусственные спутники Земли, и оба новшества использовались в международном проекте, названном Мировой программой исследования атмосферы. Говорили даже, что человечество освободится от произвола стихий, став повелителем, а не игрушкой атмосферы. Кукурузные поля накроют геодезическими колпаками, самолеты очистят небосклон от туч, ученым станет ясен механизм запуска и остановки дождя.
    •    Эти иллюзии были посеяны фон Нейманом, создавшим свой первый компьютер с твердым намерением использовать вычислительную машину и для управления погодой. Он окружил себя метеорологами, породив слухи о создании так называемого братства физиков. У Неймана имелись особые причины для оптимизма. Он полагал, что сложная динамическая система имеет точки неустойчивости — критические моменты, в которые слабый толчок может привести к огромным последствиям, как это происходит с мячиком, балансирующим на вершине холма. Вопрос заключался в том, чтобы определить эти точки, воздействовать на систему в нужный момент и рассчитать ее дальнейшее поведение на компьютере. На практике это должно было выглядеть так: если центральный комитет метеорологов считает нужным изменить погоду, в небо поднимутся самолеты, чтобы оставить за собой дымовую завесу или разогнать облака. Великолепная перспектива! Однако Нейман не обратил внимания на вероятность хаоса, при котором неустойчива каждая точка.
    •    К 80-м годам разветвленный и дорогостоящий аппарат служащих рьяно взялся выполнять поставленную Нейманом задачу, по крайней мере ту ее часть, которая была связана с составлением прогнозов. На окраине одного из городов штата Мэриленд, близ Вашингтонской кольцевой автострады, в простом, похожем на куб здании, которое обилием радиоантенн и радаров, установленных на крыше, напоминало разведцентр, трудились ведущие ученые Америки. Здесь мощнейший суперкомпьютер строил модель, напоминавшую разработки Лоренца, но лишь по сути и духу. «Royal МсВее» мог выполнять шестьдесят умножений в секунду, тогда как быстродействие новой машины «Control Data Cyber 205» составляло миллионы операций с плавающей запятой в секунду. Там, где Лоренц использовал двенадцать уравнений, современный компьютер расправлялся с системой, состоявшей из пятисот тысяч. Этой машине был известен механизм колебаний температуры воздуха при конденсации и испарении жидкости. Виртуальные воздушные потоки зарождались в компьютерных горных Цепях. Информация, поступавшая со всего земного шара, со спутников, самолетов и кораблей, вводилась в компьютер ежечасно. В результате по точности прогнозов национальный метеоцентр занял второе место в мире.
    •    А первое место держал Европейский центр прогнозирования погоды, расположенный в Рединге, небольшом университетском городке, в часе езды от Лондона, Скромное современное здание, затененное деревьями, построили в годы торжества идеи Общего рынка, когда большинство государств Западной Европы решили действовать совместно, объединив интеллектуальные и денежные ресурсы для предсказания погоды. Европейцы приписывали свои успехи молодости сменяющих друг друга сотрудников, которые не состояли на государственной службе, и суперкомпьютеру «Cray», который был на порядок совершеннее американского аналога.
    •    Прогнозирование погоды стало отправной точкой, с которой началось использование компьютеров для моделирования сложных систем. Методика его сослужила хорошую службу множеству представителей естественных, точных и гуманитарных наук. С ее помощью ученые пытались предугадать буквально всё, начиная с динамики маломасштабных жидкостных потоков, изучаемых конструкторами двигателей, и заканчивая циркуляцией финансов. К 70-80-м годам компьютерные прогнозы экономического развития напоминали глобальные предсказания погоды. Модели, представлявшие собой запутанную, до некоторой степени произвольную паутину уравнений, преобразовывали известные начальные условия — будь то атмосферное давление или денежный запас — в будущие тенденции. Программисты надеялись, что неизбежные упрощающие предположения не слишком сильно искажают истину. Если на выходе получалось нечто странное — наводнение в Сахаре или повышение процентных ставок на несколько порядков, уравнение подправляли таким образом, чтобы подогнать результат под ожидаемый. Как это ни печально, эконометрические модели мало соответствовали реальности. Это не мешало многим людям, предвидевшим грядущее гораздо лучше машины, поступать так, будто они верили итогам изысканий. Прогнозы экономического роста или безработицы составлялись с точностью до сотых, а то и тысячных долей. Правительства и финансовые институты субсидировали прогнозирование ради практического результата, желая получить хоть что-то за вложенные деньги. По-видимому, все знали, что показатели вроде «потребительского оптимизма» не столь хорошо поддаются измерению, как, например, влажность воздуха, что дифференциальных уравнений, отражающих политические движения или изменения в мире моды, еще никто не создал. Но лишь немногим было понятно, сколь ненадежен сам процесс компьютерного моделирования — даже в тех случаях, когда исходным данным вполне можно доверять, а законы заимствованы из физики, как в случае с предсказанием погоды.
    •    Истинный успех компьютерного моделирования состоит в том, что составление прогнозов погоды из искусства превратилось в науку. По оценкам Европейского центра, мировая экономика ежегодно сберегала миллиарды долларов благодаря предсказаниям, которые статистически были лучше, чем ничего. Однако прогнозы, составленные более чем на два-три дня, оказывались умозрительными, более чем на неделю — просто бесполезными.
    •    Причина заключалась в эффекте бабочки. Стоит возникнуть небольшому и кратковременному погодному явлению — а для глобального прогноза таковыми могут считаться и грозовые штормы, и снежные бури, — как предсказание утрачивает свою актуальность. Погрешности и случайности множатся, каскадом накладываясь на турбулентные зоны атмосферы, начиная от пылевых вихрей и заканчивая воздушными токами в масштабах целого материка, отслеживать которые удается лишь из космоса.
    •    Современные модели погоды работают с сетками точек, отстоящих друг от друга на шестьдесят миль. Тем не менее о некоторых начальных данных приходится лишь догадываться, поскольку наземные станции и спутники не вездесущи. Предположим, что поверхность земного шара усеяна датчиками, удаленными друг от друга лишь на фут, что они, разнесенные на фут, контролируют по всей высоте атмосферу. Допустим, каждый датчик пере дает исключительно точную информацию о температуре давлении, влажности и любой другой нужной метеорологу величине. Точно в полдень компьютер огромной мощности считывает все данные и вычисляет, что случится в каждой из точек в 12:01, потом в 12:02, в 12:03 и т. д.
    •    И все же компьютер не сможет предсказать, солнечная или дождливая погода ожидается в Принстоне через месяц. В полдень расстояние между сенсорами будет изменяться, чуть отклоняясь от среднего значения, и компьютер не получит эту информацию. К 12:01 колебания повлекут за собой небольшие погрешности, которые со временем станут нарастать и выльются в огромные отклонения.
    •    Даже люди, нюхом чующие погоду, не осознавали этого. Одним из близких друзей Лоренца был Роберт Уайт, исследователь-метеоролог из Массачусетского технологического института. Когда Лоренц рассказал Уайту об эффекте бабочки и о том, какое значение этот эффект может иметь для долгосрочного прогнозирования атмосферных явлений, Уайт ответил словами Неймана: «Дело не в предсказании, а скорее в управлении». Его мысль заключалась в том, что небольшие изменения под контролем человека могут вызвать желаемые крупномасштабные перемены. Но Лоренц смотрел на это по-другому. Да, мы можем изменить погоду, мы можем заставить атмосферу вести себя по-иному, не так, как она вела бы себя без нашего вмешательства. Но мы никогда не узнаем, что произойдет потом. Это все равно что заново тасовать перемешанную уже колоду карт. Нам ясно, что ситуация изменится но неизвестно, к лучшему или к худшему.
    •    Открытие Лоренца было случайным, звено в цепи неожиданных прозрений, восходящей еще к Архимеду с его ванной. Но Лоренц не принадлежал к числу тех, кто торопится кричать «Эврика!». Руководимый инстинктивной прозорливостью, он приготовился идти дальше тем же путем и изучать последствия своего открытия, выясняя его роль в образовании потоков во всех видах жидкости.
    •    Споткнись Лоренц на эффекте бабочки, этом символе торжества случая над предопределенностью, в его распоряжении не оказалось бы ничего, кроме плохих новостей. Но Лоренц в своей модели погоды видел нечто большее, чем просто встроенную в нее хаотичность, — там наблюдалась изящная геометрическая структура, некий порядок, выдающий себя за случайность. Лоренц, будучи математиком по призванию и метеорологом по профессии, начал в конце концов вести двойную жизнь. Кроме работ по метеорологии из-под его пера выходили статьи, где несколько вступительных строк о теории атмосферных процессов растворялись в математическом тексте.
    •    Он уделял все больше и больше внимания математике систем, которые никогда не находились в устойчивом состоянии, почти повторяя друг друга, но не достигая полной идентичности. Известно, что погода как раз и является такой апериодичной системой. Мир полон подобных систем, и не нужно далеко ходить за примерами: численность популяций животных растет и падает почти регулярно, эпидемии начинаются и продолжаются, вопреки людским надеждам, тоже в определенном порядке. И если бы погода когда-нибудь повторилась в точности, продемонстрировав полностью идентичное прежнему облако или дождь, как две капли воды похожий на недавно прошедший, тогда, вероятно, она стала бы всегда воспроизводиться и проблема прогнозирования потеряла бы свою актуальность.
    •    Лоренц предвидел, что должна существовать связь между неповторяемостью атмосферных явлений и неспособностью метеорологов предсказать их, иными словами, связь между апериодичностью и непредсказуемостью. Найти простые выражения для апериодичности было делом нелегким, однако Лоренц, преодолев множество мелких препятствий, в частности зацикливание программы, все же достиг успеха. Это произошло, когда он ввел в машину уравнение, описывающее количество солнечной энергии, которая изливается на земную поверхность при движении светила с востока на запад. После этого данные на выходе пришли в соответствие с изменениями, наблюдаемыми в реальности, когда солнце нагревает, например, восточное побережье Северной Америки и Атлантический океан. В результате цикличность программы исчезла.
    •    Эффект бабочки был не случайностью, но необходимостью. Допустим, небольшие пертурбации так и останутся небольшими, не перемещаясь в системе, рассуждал ученый. Приближаясь к ранее пройденному состоянию, погода уподобится и последующим состояниям. Циклы станут предсказуемыми и в конце концов потеряют все свое очарование. Чтобы воспроизвести богатый спектр реальной погоды земного шара, ее чудесное многообразие, вряд ли можно желать чего-либо лучшего, чем эффект бабочки. Как уже говорилось, данный феномен имеет и строгое научное название — «сильная зависимость от начальных условий». Зависимость эту превосходно иллюстрирует детский стишок:
    Не было гвоздя — подкова пропала,
    Не было подковы — лошадь захромала,
    Лошадь захромала — командир убит,
    Конница разбита, армия бежит,
    Враг вступает в город, пленных не щадя,
    Оттого что в кузнице не было гвоздя.
    (Перевод С. Я. Маршака.)
    •    Как наука, так и жизнь учит, что цепь событий может иметь критическую точку, в которой небольшие изменения приобретают особую значимость. Суть хаоса в том, что такие точки находятся везде, распространяются повсюду. В системах, подобных погоде, сильная зависимость от начальных условий представляет собой неизбежное следствие пересечения малого с великим.
    •    Коллеги Лоренца были изумлены тем, что он соединил в своей миниатюрной модели погоды апериодичность и сильную зависимость от начальных условий, что подтверждали его двенадцать уравнений, просчитанных с поразительной трудоспособностью не один десяток раз. Как может подобное многообразие, такая непредсказуемость — в чистом виде хаос! — возникнуть из простой детерминистской системы?
    •    Лоренц, отложив на время занятия погодой, стал искать более простые способы воспроизведения сложного поведения объектов. Один из них был найден в виде системы из трех нелинейных, т. е. выражающих не прямую пропорциональную зависимость, уравнений. Линейные соотношения изображаются прямой линией на графике, и они достаточно просты. Линейные уравнения всегда разрешимы, что делает их подходящими для учебников. Линейные системы обладают неоспоримым достоинством: можно рассматривать отдельные уравнения как порознь, так и вместе.
    •    Нелинейные системы в общем виде не могут быть решены. Рассматривая жидкостные и механические системы, специалисты обычно стараются исключить нелинейные элементы, к примеру трение. Если пренебречь им, можно получить простую линейную зависимость между ускорением хоккейной шайбы и силой, придающей ей это ускорение. Приняв в расчет трение, мы усложним формулу, поскольку сила будет меняться в зависимости от скорости движения шайбы. Из-за этой сложной изменчивости рассчитать нелинейность весьма непросто. Вместе с тем она порождает многообразные виды поведения объектов, не наблюдаемые в линейных системах.
    •    В динамике жидкостей все сводится к нелинейному дифференциальному уравнению Навье—Стокса, удивительно емкому и определяющему связь между скоростью, давлением, плотностью и вязкостью жидкости. Природу этих связей зачастую невозможно уловить, ибо исследовать поведение нелинейного уравнения все равно что блуждать по лабиринту, стены которого перестраиваются с каждым вашим шагом. Как сказал фон Нейман, «характер уравнения... меняется одновременно во всех релевантных отношениях; меняется как порядок, так и степень. Отсюда могут проистекать большие математические сложности». Другими словами, мир был бы совсем иным и хаос не казался бы столь необходимым, если бы в уравнении Навье—Стокса не таился демон нелинейности.
    •    Особый вид движения жидкости породил три уравнения Лоренца, которые описывают течение газа или жидкости, известное как конвекция. В атмосфере конвекция как бы перемешивает воздух, нагретый при соприкосновении с теплой почвой. Можно заметить, как мерцающие конвекционные волны поднимаются, подобно привидениям, над раскаленным асфальтом или другими поверхностями, излучающими теплоту. Лоренц испытывал искреннюю радость, рассказывая о конвекции горячего кофе в чашке. По его утверждению, это один из бесчисленных гидродинамических процессов в нашей Вселенной, поведение которых нам, вероятно, захочется предугадать. Как, например, вычислить, насколько быстро остывает чашка кофе? Если напиток не слишком горячий, теплота рассеется без всякого гидродинамического движения, и жидкость перейдет в стабильное состояние. Однако если кофе горячий, конвекция повлечет перемещение жидкости с большей температурой со дна чашки на поверхность, где температура ниже. Этот процесс наблюдается особенно отчетливо, если в чашку с кофе капнуть немного сливок — тогда видишь, сколь сложно кружение жидкости. Впрочем, будущее состояние подобной системы очевидно: движение неизбежно прекратится, поскольку теплота рассеется, а перемещение частиц жидкости будет замедлено трением. Как поясняет Лоренц, «у нас могут быть трудности с определением температуры кофе через минуту, но предсказать ее значение через час нам уже гораздо легче». Формулы движения, определяющие изменение температуры кофе в чашке, должны отражать будущее состояние этой гидродинамической системы. Они должны учитывать эффект рассеивания, при котором температура жидкости стремится к комнатной, а ее скорость — к нулю.
     
    Рис 2. Движение жидкости.
    Когда жидкость нагревают снизу, то в ней обычно образуются цилиндрические завитки (слева). Поднимаясь по одной стенке сосуда и спускаясь затем по противоположной, жидкость теряет теплоту - наблюдается конвекция. В случае продолжения этого процесса возникает нестабильность, влекущая за собой колебания в завитках жидкости, идущие в двух направлениях по всей длине цилиндров. При повышении температуры поток становится бурным и беспорядочным.
    •    Отталкиваясь от совокупности уравнений, описывающих конвекцию, Лоренц как бы разобрал их на части, выбросив все, что могло показаться несущественным, и таким образом значительно упростил систему. От первоначальной модели не осталось почти ничего, кроме факта нелинейности. В результате уравнения, на взгляд физика, приобрели довольно простой вид. Взглянув на них — а это делал не один ученый на протяжении многих лет, — можно было с уверенностью сказать: «Я смог бы их решить». Лоренц придерживался иного мнения: «Многие, увидев такие уравнения и заметив в них нелинейные элементы, приходят к выводу, что при решении эти элементы несложно обойти. Но это заблуждение».
    •    Рассмотрим простейший пример конвекции. Для этого представим некоторый замкнутый объем жидкости в сосуде с ровным дном, который можно нагревать, и с гладкой поверхностью, подвергающейся в ходе опыта охлаждению. Разница температур между горячим дном и прохладной поверхностью порождает токи жидкости. Если разница небольшая, жидкость остается неподвижной; теплота перемещается к поверхности благодаря тепловой проводимости, как в металлическом бруске, не преодолевая естественное стремление жидкости находиться в покое. К тому же такая система является устойчивой: случайные движения, происходящие, например, когда лаборант нечаянно заденет сосуд, обычно замирают, и жидкость возвращается в состояние покоя.
    •    Но стоит увеличить температуру, как поведение системы меняется. По мере нагревания жидкости она расширяется снизу, становится менее плотной, что, в свою очередь, влечет уменьшение ее массы, достаточное, чтобы преодолеть трение; в результате вещество устремляется к поверхности. Если конструкция сосуда хорошо продумана, в нем появляется цилиндрический завиток, в котором горячая жидкость поднимается по одной из стенок, а охлажденная спускается по противоположной. Понаблюдав за сосудом, можно проследить непрерывный цикл таких перемещений. Вне лабораторных стен сама природа создает области конвекции. К примеру, когда солнце нагревает песчаную поверхность пустыни, перемещающиеся воздушные массы могут сформировать миражи высоко в облаках или вблизи земли.
    •    С дальнейшим ростом температуры поведение жидкости еще больше усложняется: в завитках зарождаются колебания. Уравнения Лоренца были слишком примитивными для их моделирования, описывая лишь одну черту, характерную для конвекции в природе, — кругообразное перемещение нагретой жидкости, показанное на рис 2. В уравнениях учитывалась как скорость такого перемещения, так и теплопередача; и оба физических процесса взаимодействовали. Подобно любой циркулирующей частице горячей жидкости, жидкое вещество в нашем опыте, взаимодействуя с менее нагретой субстанцией, утрачивает теплоту. Однако, если движение жидкости происходит достаточно быстро, она не потеряет всю избыточную тепловую энергию за один цикл перемещений «дно —> поверхность —> дно», и в этом случае в ней могут образоваться завихрения.
     
    Рис 3. Водяное колесо Лоренца.
    Первая хаотическая система, обнаруженная Эдвардом Лоренцем, точно соответствует механическому устройству — водяному колесу, которое может вести себя удивительно сложным образом Вращающееся колесо имеет те же свойства, что и вращающиеся в процессе конвекции цилиндры жидкости, колесо похоже на их поперечные сечения. Обе системы регулируются (потоком воды или теплоты), и обе рассеивают энергию Жидкость утрачивает теплоту; вода выливается из черпаков колоса. Долгосрочное поведение обеих систем зависит от того, насколько велика управляющая ими энергия Вода наливается сверху с постоянной скоростью Если скорость ее небольшая, верхний черпак никогда не становится полным, трение не преодолевается и колесо не поворачивается (Подобное явление наблюдается и в жидкости если теплоты недостаточно, чтобы преодолеть вязкость, жидкость останется неподвижной) С увеличением скорости водяного потока колесо начинает двигаться под тяжестью верхнего черпака (слева) и даже вращаться с постоянной скоростью (в центре). Однако при чрезмерной скорости воды (справа) вращение колеса может стать хаотичным из-за нелинейных воздействий, появившихся в системе. Черпаки, проходя под водяным потоком, наполняются в зависимости от того, насколько быстро вращается колесо При быстром вращении колеса им не хватает времени, чтобы наполниться (Так же и жидкости в быстровращающихся конвекционных завитках недостает времени, чтобы поглотить теплоту.) Кроме того, емкости могут начать двигаться в обратную сторону, заполнившись водой. В результате полные черпаки на движущейся вверх стороне колеса способны замедлить вращение всей системы, а затем вызвать ее поворот в обратную сторону. Фактически Лоренц обнаружил, что в течение длительных периодов времени вращение может менять свое направление несколько раз, никогда не достигая постоянной скорости и никогда не повторяясь каким-либо предсказуемым образом.
    •    Оказалось, что система Лоренца имеет аналоги в реальном мире, даже не отражая полностью процесс конвекции. К примеру, уравнения Лоренца достаточно точно описывают функционирование уже вышедшей из употребления электрической динамо-машины, предшественницы современных генераторов, где ток течет через диск, вращающийся в магнитном поле. В определенных условиях динамо-машина может дать обратный ход. Некоторые ученые, ознакомившись с уравнениями Лоренца, предположили, что, быть может, поведение динамо прольет свет на другой специфический феномен — магнитное поле Земли. Известно, что так называемая геодинамо-машина давала о себе знать много раз в истории планеты. Интервалы между этими явлениями казались странными и необъяснимыми. Столкнувшись с подобной беспорядочностью, теоретики, как правило, искали решение вне рамок конкретной системы, выдвигая предположения вроде гипотезы метеоритных дождей.
    •    Другой системой, вполне точно описываемой уравнениями Лоренца, является водяное колесо определенного типа, механический аналог вращающихся конвекционных кругов. Вода постоянно льется с вершины колеса в емкости, закрепленные на его ободе, а из каждой емкости она вытекает через небольшое отверстие. В том случае, когда поток воды мал, верхние емкости заполняются недостаточно быстро для преодоления трения. Если же скорость водяной струи велика, колесо начинает поворачиваться под воздействием веса жидкости и вращение становится непрерывным. Однако, коль скоро струя сильна, черпаки, полные воды, некоторое время колеблются внизу, а затем начинают стремиться в другую сторону, таким образом замедляя движение, а затем останавливая колесо; и в дальнейшем оно меняет направление движения на противоположное, поворачиваясь сначала по часовой стрелке, а потом против нее.
    •    Интуиция подсказала Лоренцу, что за длительный период времени при неизменном потоке воды система обретет устойчивое состояние. Колесо будет или равномерно вращаться, или постоянно колебаться в двух противоположных направлениях, покачиваясь через определенные неизменные промежутки времени сначала вперед, затем назад. Но Лоренц обнаружил еще одно обстоятельство.
    •    Три уравнения с тремя переменными полностью описывали движение данной системы. Компьютер ученого распечатал меняющиеся значения этих переменных в следующем виде: 0-10-0; 4-12-0; 9-20-0; 16-36-2; 30-66-7; 54-115-24; 93-192-74. Числа в наборе сначала увеличивались, затем уменьшались по мере отсчета временных интервалов: пять, сто, тысяча...
    •    Чтобы наглядно изобразить полученные результаты, Лоренц использовал каждый набор из трех чисел в качестве координаты точки в трехмерном пространстве. Таким образом, последовательность чисел воспроизводила последовательность точек, образующих непрерывную линию, которая фиксировала поведение системы. Эта линия должна была, начиная с определенной точки, расположиться параллельно осям координат, что означало бы достижение системой устойчивости при стабилизации скорости и температуры. Был возможен и второй вариант — формирование петли, повторяющейся вновь и вновь и сигнализирующей о переходе системы в периодически повторяющееся состояние.
    •    Но Лоренц не обнаружил ни того ни другого. Вместо ожидаемого эффекта появилось нечто бесконечно запутанное, всегда расположенное в определенных границах, но никогда и не повторявшееся. Изгибы линии приобретали странные, весьма характерные очертания, что-то похожее на два крыла бабочки или на двойную спираль в трехмерном пространстве. И эта форма свидетельствовала о полной неупорядоченности, поскольку ни одна из точек или их комбинаций не повторялась.

    Рис 4. Аттрактор Лоренца.
    Это магическое изображение, напоминающее маску совы или крылья бабочки, стало эмблемой первых исследователей хаоса. Оно раскрывает тонкую структуру, таящуюся в беспорядочном потоке информации. Изменение значений любой переменной может быть показано графически в зависимости от времени (сверху). Чтобы продемонстрировать меняющееся соотношение между тремя переменными, достаточно предположить, что в каждый момент времени три переменных фиксируют нахождение точки в трехмерном пространстве; по мере изменения системы перемещение точки описывает непрерывную линию. Поскольку состояние системы никогда точно не повторяется, траектория не пересекает сама себя, образуя лишь новые и новые петли. Движение в аттракторе абстрактно, тем не менее оно передает особенности движения реальных систем. Например, переход от одного из «крыльев» аттрактора к другому соответствует началу обратного хода водяного колеса или изменению направления вращения жидкости при конвекции.
    •    Спустя годы физики еще обсуждали публикацию Лоренца - «эту замечательную, необыкновенную статью!», - и в их глазах появлялась задумчивость. О его работе говорили так, словно она представляла собой древний манускрипт, хранивший секреты вечности. Из тысяч статей, составивших специальную литературу о проблеме хаоса, вряд ли какая-либо цитировалась чаще, чем Лоренцов «Детерминистский непериодический поток». В течение многих лет ни один феномен не изображался столь бессчетное количество раз, ни об одном не сняли столько фильмов, сколько о таинственной кривой, описанной в этой главе, — двойной спирали, известной как «аттрактор Лоренца». Она воплощала в себе сложность и запутанность, все многообразие хаоса.
    •    Но это во времена Лоренца ощущали немногие. Он рассказал о своих опытах Виллему Малкусу, профессору прикладной математики Массачусетского технологического института, который слыл человеком весьма тактичным и способным оценить по достоинству работу коллег. Малкус, рассмеявшись, произнес: «Эд, мы знаем, знаем доподлинно, что в жидкости ничего подобного не происходит». По его мнению, всю беспорядочность следовало свести к нулю, чтобы система вернулась к стабильному постоянному движению.
    •    «Конечно, мы упустили самую суть, — повторял Малкус спустя несколько десятилетий, когда в его полуподвальной лаборатории появилось настоящее, созданное для посрамления скептиков, водяное колесо Лоренца. — Эду был чужд язык традиционной физики. Его мысль работала в границах некой обобщенной абстрактной модели которая демонстрировала поведение, характерное, как он интуитивно чувствовал, для определенных сторон внешнего мира. Он ощущал нечто, но не мог передать нам свои ощущения. Сейчас мы наконец поняли, как безраздельно владели Лоренцом его собственные идеи».
    •    В те времена лишь немногие сознавали, что отдельные области знания все сильнее изолируются друг от друга. Биологам было что читать и без книг по математике; более того, молекулярные биологи не отвлекались на чтение статей по биологии популяций. Физикам не хватало времени штудировать метеорологические журналы. Только некоторые математики оценили открытие Лоренца, и еще целых десять лет физики, астрономы и биологи открывали уже открытое. В конце концов, Лоренц был метеорологом, и никому не приходило в голову искать первое описание феномена хаоса на страницах «Метеорологического журнала»...
    •    Источник: moonspell.darkside.ru
    •    18.04.2008


     
    Категория: Математическая физика | Добавил: Никс (05.01.2015)
    Просмотров: 171 | Рейтинг: 0.0/0
    Всего комментариев: 0
    Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
    [ Регистрация | Вход ]
    Форма входа

    Поиск
    Новости астрофизики
    Пчеловодство для народа
    Copyright MyCorp © 2017
    Бесплатный конструктор сайтов - uCozЯндекс.Метрика