Специальная теория относительности
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Специальная теория относительности (СТО; также частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей.
Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности. Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями. Основным отличием СТО от классической механики является зависимость (наблюдаемых) пространственных и временных характеристик от скорости. Центральное место в специальной теории относительности занимают преобразования Лоренца, которые позволяют преобразовывать пространственно-временные координаты событий при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Специальная теория относительности была создана Альбертом Эйнштейном в работе 1905 года «К электродинамике движущихся тел». Несколько ранее к аналогичным выводам пришел
А. Пуанкаре, который впервые назвал преобразования координат и времени между различными системами отсчёта «преобразования Лоренца». Создание СТО
Предпосылкой к созданию теории относительности явилось развитие в XIX веке электродинамики. Результатом обобщения и теоретического осмысления экспериментальных фактов и закономерностей в областях электричества и магнетизма стали уравнения Максвелла, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами.
В электродинамике Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в вакууме не зависит от скоростей движения как источника этих волн, так и наблюдателя, и равна скорости света. Таким образом, уравнения Максвелла оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея, что противоречило классической механике.
Специальная теория относительности была разработана в начале XX века усилиями Г. А. Лоренца, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна и других учёных . Экспериментальной основой для создания СТО послужил опыт Майкельсона. Его результаты оказались неожиданными для классической физики своего времени: независимость скорости света от направления (изотропность) и орбитального движения Земли вокруг Солнца. Попытка интерпретировать этот результат в начале XX века вылилась в пересмотр классических представлений и привела к созданию специальной теории относительности. При движении с околосветовыми скоростями видоизменяются законы динамики. Второй закон Ньютона, связывающий силу и ускорение, должен быть модифицирован при скоростях тел, близких к скорости света. Кроме этого, выражение для импульса и кинетической энергии тела имеет более сложную зависимость от скорости, чем в нерелятивистском случае. Специальная теория относительности получила многочисленные подтверждения на опыте и является верной теорией в своей области применимости. По меткому замечанию Л. Пэйджа, «в наш век электричества вращающийся якорь каждого генератора и каждого электромотора неустанно провозглашает справедливость теории относительности — нужно лишь уметь слушать». Основные понятия и постулаты СТО
Специальная теория относительности, как и любая другая физическая теория, может быть сформулирована на базе из основных понятий и постулатов (аксиом) плюс правила соответствия её физическим объектам. Основные понятия
Система отсчёта представляет собой некоторое материальное тело, выбираемое в качестве начала этой системы, способ определения положения объектов относительно начала системы отсчёта и способ измерения времени. Обычно различают системы отсчёта и системы координат. Добавление процедуры измерения времени к системе координат «превращает» её в систему отсчёта. Инерциальная система отсчёта (ИСО) — это такая система, относительно которой объект, не подверженный внешним воздействиям, движется равномерно и прямолинейно. Постулируется, что ИСО существуют, и любая система отсчёта, движущаяся относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, также является ИСО. Событием называется любой физический процесс, который может быть локализован в пространстве, и имеющий при этом очень малую длительность. Другими словами, событие полностью характеризуется координатами (x, y, z) и моментом времени t. Примерами событий являются: вспышка света, положение материальной точки в данный момент времени и т. п. Обычно рассматриваются две инерциальные системы S и S'. Время и координаты некоторого события, измеренные относительно системы S, обозначаются как (t, x, y, z), а координаты и время этого же события, измеренные относительно системы S', как (t', x', y', z'). Удобно считать, что координатные оси систем параллельны друг другу, и система S' движется вдоль оси x системы S со скоростью v. Одной из задач СТО является поиск соотношений, связывающих (t', x', y', z') и (t, x, y, z), которые называются преобразованиями Лоренца. Синхронизация времени
В СТО постулируется возможность определения единого времени в рамках данной инерциальной системы отсчёта. Для этого вводится процедура синхронизации двух часов, находящихся в различных точках ИСО . Пусть от первых часов в момент времени ко вторым посылается сигнал (не обязательно световой) с постоянной скоростью . Сразу по достижении вторых часов (по их показаниям в момент времени ) сигнал отправляется обратно с той же постоянной скоростью и достигает первых часов в момент времени . Часы считаются синхронизированными, если выполняется соотношение . Предполагается, что такая процедура в данной инерциальной системе отсчёта может быть проведена для любых неподвижных относительно друг друга часов, так что справедливо свойство транзитивности: если часы A синхронизованы с часами B, а часы B синхронизованы с часами C, то часы A и C также окажутся синхронизированными. В отличие от классической механики, единое время можно ввести только в рамках данной системы отсчёта. В СТО не предполагается, что время является общим для различных систем. В этом состоит основное отличие аксиоматики СТО от классической механики, в которой постулируется существование единого (абсолютного) времени для всех систем отсчёта. Согласование единиц измерения
Чтобы измерения, выполненные в различных ИСО, можно было между собой сравнивать, необходимо провести согласование единиц измерения между системами отсчёта. Так, единицы длины могут быть согласованы при помощи сравнения эталонов длины в перпендикулярном направлении к относительному движению инерциальных систем отсчёта. Например, это может быть кратчайшее расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно осям x и x' и имеющих различные, но постоянные координаты (y, z) и (y',z'). Для согласования единиц измерения времени можно использовать идентично устроенные часы, например, атомные. Постулаты СТО В первую очередь в СТО, как и в классической механике, предполагается, что пространство и время однородны, а пространство также изотропно. Если быть более точным (современный подход) инерциальные системы отсчета собственно и определяются как такие системы отсчета, в которых пространство однородно и изотропно, а время однородно. По сути существование таких систем отсчета постулируется. Постулат 1 (принцип относительности Эйнштейна).
Любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что форма зависимости физических законов от пространственно-временных координат должна быть одинаковой во всех ИСО, то есть законы инвариантны относительно переходов между ИСО. Принцип относительности устанавливает равноправие всех ИСО. Учитывая второй закон Ньютона (или уравнения Эйлера-Лагранжа в лагранжевой механике), можно утверждать, что если скорость некоторого тела в данной ИСО постоянна (ускорение равно нулю), то она должна быть постоянна и во всех остальных ИСО. Иногда это и принимают за определение ИСО. Формально, принцип относительности Эйнштейна распространил классический принцип относительности (Галилея) с механических на все физические явления. Однако, если учесть, что во времена Галилея физика заключалась собственно в механике, то и классический принцип тоже можно считать распространяющимся на все физические явления. В том числе он должен распространяться и на электромагнитные явления, описываемые уравнениями Максвелла. Однако, согласно последним (и это можно считать эмпирически установленным, так как уравнения выведены из эмпирически выявленных закономерностей), скорость распространения света является определённой величиной, не зависящей от скорости источника (по крайней мере в одной системе отсчёта). Принцип относительности в таком случае говорит, что она не должна зависеть от скорости источника во всех ИСО в силу их равноправности. А значит, она должна быть постоянной во всех ИСО.
В этом заключается суть второго постулата: Постулат 2 (принцип постоянства скорости света).
Скорость света в «покоящейся» системе отсчёта не зависит от скорости источника. Принцип постоянства скорости света противоречит классической механике, а конкретно — закону сложения скоростей. При выводе последнего используется только принцип относительности Галилея и неявное допущение одинаковости времени во всех ИСО. Таким образом, из справедливости второго постулата следует, что время должно быть относительным — неодинаковым в разных ИСО. Необходимым образом отсюда следует и то, что «расстояния» также должны быть относительны. В самом деле, если свет проходит расстояние между двумя точками за некоторое время, а в другой системе — за другое время и притом с той же скоростью, то отсюда непосредственно следует, что и расстояние в этой системе должно отличаться. Необходимо отметить, что световые сигналы, вообще говоря, не требуются при обосновании СТО. Хотя неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея привела к построению СТО, последняя имеет более общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических процессов. Фундаментальная константа , возникающая в преобразованиях Лоренца, имеет смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она совпадает со скоростью света, однако этот факт, согласно современной квантовой теории поля (уравнения которой изначально строятся как релятивистски инвариантные) связан с безмассовостью электромагнитных полей. Даже если бы фотон имел отличную от нуля массу, преобразования Лоренца от этого бы не изменились. Поэтому имеет смысл различать фундаментальную скорость и скорость света. Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда как вторая связана со свойствами конкретного взаимодействия. В связи с этим второй постулат следует формулировать как существование предельной (максимальной) скорости движения. По своей сути она должна быть одинаковой во всех ИСО, хотя бы потому, что в противном случае различные ИСО не будут равноправны, что противоречит принципу относительности. Более того, исходя из принципа «минимальности» аксиом, можно сформулировать второй постулат просто как существование некоторой скорости, одинаковой во всех ИСО, а после вывода соответствующих преобразований — показать, что это предельная скорость (потому, что подстановка в эти формулы скоростей больше этой скорости приводит к мнимости координат). Альтернативные аксиоматики
После построения Эйнштейном СТО на основе вышеуказанных постулатов, многие исследователи пытались отказаться от второго постулата вообще. Спустя 5 лет после известной статьи Эйнштейна 1905 года, благодаря работам Игнатовского, Ф.Франка и Г.Роте стал известен способ получения общего вида (с точностью до неопределенной константы) преобразований Лоренца без использования второго постулата. При «правильном» знаке неопределенного параметра эти преобразования совпадают с преобразованиями Лоренца. Из этого следует наличие максимальной скорости, одинаковой во всех ИСО. Тем не менее, знак этой константы из предложенных аксиом никак не следует. Предлагается оценивать значение параметра экспериментально. Чтобы измерить этот параметр, а значит и фундаментальную скорость , нет необходимости проводить электродинамические эксперименты. Можно, например, на основе измерений скорости одного и того же объекта в разных ИСО и воспользоваться законом сложения скоростей с неопределенным параметром. Необходимо, однако, отметить, что экспериментальное «вычисление» знака неопределенной константы фактически эквивалентно предположению о наличии максимальной скорости, то есть по существу второму постулату. Тем не менее, попытки аксиоматизации, в том числе без второго постулата, предпринимались позднее и другими исследователями. Существуют также аксиоматики, которые не используют принцип относительности — а только принцип постоянства скорости света. Более подробно с ними можно ознакомиться в статье А. К. Гуца. Преобразования Лоренца
Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта и параллельны друг другу, — время и координаты некоторого события, наблюдаемого относительно системы , а — время и координаты того же события относительно системы . Общий вид преобразований Лоренца в векторном виде, когда скорость систем отсчёта имеет произвольное направление: где — фактор Лоренца, и — радиус-векторы события относительно систем S и S'. Если сориентировать координатные оси по направлению относительного движения инерциальных систем (то есть в общие формулы подставить ) и выбрать это направление в качестве оси (то есть так, чтобы система S' двигалась равномерно и прямолинейно со скоростью относительно S вдоль оси ), то преобразования Лоренца примут следующий вид: где — скорость света. При скоростях много меньше скорости света преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея: Подобный предельный переход является отражением принципа соответствия, согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае — классическую механику). Вывод преобразований Лоренца
Существует множество способов вывода преобразований Лоренца. Рассмотрим один из вариантов. Предполагается, что начало координат системы (в силу однородности пространства это может быть любая покоящаяся в этой системе точка) движется относительно системы со скоростью . Соответственно, начало координат (покоящаяся точка) системы движется в со скоростью . В целях упрощения дальнейшего изложения (а также самих конечных формул преобразования) будем исходить из предположения о совпадении начал отсчета обоих ИСО ( , когда ) и одинаковой ориентированности координатных осей таким образом, чтобы относительное движение ИСО было направлено вдоль оси (с противоположными знаками в разных системах). При относительном движении систем вдоль оси x можно считать, что (это можно также показать более строго), таким образом, фактически можно рассматривать преобразования для одномерного пространства и рассматривать только векторы двумерного пространства-времени . Линейность преобразований В силу однородности пространства и времени и изотропности пространства и принципа относительности преобразования от одной ИСО к другой должны быть линейными. Линейность преобразований можно также вывести предполагая, что, если два объекта имеют одинаковые скорости относительно одной ИСО, то их скорости будут равны и в любой другой ИСО, (при этом необходимо использовать также слабые предположения о дифференцируемости и взаимной однозначности функций преобразования). Если использовать только «определение» ИСО: если некоторое тело имеет постоянную скорость относительно одной инерциальной системы отсчёта, то его скорость будет постоянна и относительно любой другой ИСО, то можно показать только, что преобразования между двумя ИСО должны быть дробно-линейными функциями координат и времени с одинаковым знаменателем . Таким образом, если — пространственно-временной вектор в системе , а -матрица искомого линейного преобразования, то . Матрица преобразования может зависеть только от относительной скорости рассматриваемых ИСО, то есть . Исходя только из соглашений об относительной скорости движения систем отсчета можно установить общий вид (структуру) линейного преобразования и закона сложения скоростей: и закон сложения скоростей. Необходимо отметить, что если уже на этой стадии использовать второй постулат, то можно получить окончательный вид функции . Однако, структуру матрицы (то есть функцию и ) можно уточнить используя принцип относительности и изотропность пространства. Вывод общего вида матрицы преобразования
Очевидно, если , то . Поскольку преобразования должны быть одинаковыми для всех ИСО (принцип относительности), то , так как если система движется относительно со скоростью , то это означает, что система движется относительно со скоростью . Таким образом Подставив в это соотношение общий вид искомой матрицы , получим , где — нечетная функция. В силу изотропности пространства, смена координатных осей в противоположную сторону не должна влиять на вид зависимости между координатами в разных системах. Выбрав произвольный вектор , в другой системе отсчета получим . Поменяв координатную ось на противоположную в обеих системах — получим — . Но так как вид преобразования должен быть точно таким же, то — четная функция. Следовательно . Поскольку при преобразование должно быть тождественным, то . Следовательно при взятии квадратного корня необходимо использовать только положительный знак, то есть: Тем самым остается только уточнить функцию . Это можно сделать сразу воспользовавшись вторым постулатом, однако, исходя из принципа относительности можно показать, что эта функция должна иметь вид , где — параметр, не зависящий от . Следовательно, матрица преобразования и закон сложения скоростей имеют следующий вид (с точностью до неопределенного параметра): и закон сложения скоростей Численное значение параметра и её знак невозможно вывести из вышеуказанных предположений. Для этого необходимо либо дополнительное предположение (из которого будет следовать знак ), либо обращение к эксперименту (последнее необходимо в любом случае для установления конкретного значения ). Если , то получим классические преобразования Галилея, если , то получаем искомые преобразования Лоренца (введя обозначение ). Из дальнейшего анализа становится ясно, что в этом случае константа имеет смысл максимальной скорости движения любого объекта. Использование второго постулата Согласно второму постулату если , то по абсолютной величине. Второй постулат, вообще говоря, не позволяет непосредственно определить направление (знак) движения света в разных ИСО. Поэтому можно записать, что . Используя закон сложения скоростей можно показать, что . Таким образом, окончательно получаем преобразование и закон сложения скоростей: и закон сложения скоростей Для получения обратных преобразований (от к ) достаточно вместо скорости подставить . Интервал
Интервалом между произвольными событиями называется квадратный корень следующей величины: где — являются разностями времён и координат двух событий. Непосредственной подстановкой преобразований Лоренца можно убедиться, что интервал оказывается одинаковым во всех ИСО. Этот факт однако, можно показать и без использования полученных преобразований Лоренца, а используя только постулаты СТО (включая однородность и изотропность пространства и однородность времени).
Если , то говорят, что события разделены времениподобным интервалом; если , то пространственноподобным. Наконец, если , то такие интервалы называются светоподобными. Светоподобный интервал соответствует событиям, связанным сигналом, который распространяется со скоростью света. Инвариантность интервала означает, что он имеет одинаковое значение относительно двух инерциальных систем отсчёта: Знак интервала, вообще говоря, можно выбрать произвольно. В первоначальной версии интервал записывался с обратным знаком (то есть пространственные координаты со знаком «+», а временная — «-»). В современной литературе чаще используют вышеприведенную формулу. Сами преобразования Лоренца можно получить из их линейности и требования инвариантности интервала. Геометрический подход
Четырёхмерное пространство-время Световой конус
По своей форме интервал (особенно в первоначальной записи) напоминает расстояние в евклидовом пространстве, однако он имеет различный знак у пространственных и временных составляющих события. Следуя Минковскому и более ранней работе Пуанкаре, можно постулировать существование единого метрического четырёхмерного пространства-времени с 4-координатами . В простейшем случае плоского пространства метрика, определяющая расстояние между двумя бесконечно близкими точками, может быть евклидовой или псевдоевклидовой. Последний случай соответствует специальной теории относительности. Говорят, что интервал задаёт расстояние в псевдоевклидовом четырёхмерном пространстве-времени. Его также называют пространством-временем Минковского. Наиболее «простой» способ понимания и вывода преобразований Лоренца при таком подходе может быть получен, если записать интервал (с обратным знаком) используя «мнимую» временную координату — : Тогда интервал выглядит как обычное евклидово расстояние между точками в четырехмерном пространстве. Как было показано, интервал должен сохраняться при переходе между ИСО, следовательно это могут быть либо параллельные переносы и инверсии (что не интересно), либо повороты в этом пространстве. Преобразования Лоренца играют роль поворотов в таком пространстве. Вращения базиса в четырёхмерном пространстве-времени, смешивающие временную и пространственные координаты 4-векторов, выглядят как переход в движущуюся систему отсчёта и похожи на вращения в обычном трёхмерном пространстве. При этом естественно изменяются проекции четырёхмерных интервалов между определёнными событиями на временную и пространственные оси системы отсчёта, что и порождает релятивистские эффекты изменения временных и пространственных интервалов. Именно инвариантная структура этого пространства, задаваемая постулатами СТО, не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Используя только две пространственные координаты (x, y), четырёхмерное пространство можно изобразить в координатах (t, x, y). События, связанные с событием начала координат (t=0, x=y=0) световым сигналом (светоподобный интервал), лежат на так называемом световом конусе (см. рисунок справа). В первоначальной версии Минковского (с мнимым временем) формулы преобразований Лоренца выводятся довольно просто — они следуют из известных формул поворотов в евклидовом пространстве. Однако, современный подход заключается в введении четырехмерного пространства-времени (с вещественной временной осью ) с псевдометрикой. В таком пространстве формулы поворотов имеют аналогичный вид, однако вместо тригонометрических функций нужно использовать гиперболические. Геометрический подход Минковского и Пуанкаре был развит в 1914 году А. Роббом, который положил в основу аксиоматического построения СТО понятие о следовании событий. Данный подход был в дальнейшем развит А. Д. Александровым в работах 50-х — 70-х годов. Базовая аксиоматика предполагает, что пространство-время является, во-первых, четырехмерным связным односвязным локально-компактным хаусдорфовым топологическим пространством с определенной на нем группой параллельных переносов (формально — транзитивной коммутативной группой гомеоморфизмов пространства на себя). Это означает, что оно является аффинным пространством с этой группой переносов. Во-вторых — и это самый принципиальный момент — каждой точке пространства-времени сопоставлены подмножества (содержащие кроме этой точки, также и другие)- так называемые «области воздействия» (или следования, последующих событий) точки — такие, что для любой другой точки области воздействия ее область воздействия входит в область воздействия данной точки. Данное предположение вводит отношение частичного порядка в пространстве времени — отношение следования или причинности. Данное отношение позволяет ввести понятие ограниченного множества (в смысле этого отношения порядка). Формально-математическим аналогом второго постулата СТО (ограниченности скорости передачи воздействия) в данном случае будет предположение об ограниченности пересечения «последующего» множества данной точки и «предшествующего» множества любой «последующей» точки. Эти предположения являются базовыми. Тем не менее, этих предположений оказывается недостаточно для получения преобразований Лоренца. Приходится делать дополнительные предположения о существовании группы взаимно-однозначных отображений, обладающих определенными свойствами по отношению к «областям воздействия». Вместе с этими дополнительными аксиомами указанная группа отображений фактически является группой Лоренца и тем самым могут быть введены декартовы координаты, псевдометрика и собственно явный вид преобразований Лоренца. Геометрическая интерпретация пространства-времени позволяет формулировать СТО в ковариантной форме (см. ниже) на основе тензорного анализа. Именно геометрическая интерпретация является основой для обобщения теории относительности (общая теория относительности). Пространство скоростей Возможен ещё один подход, в котором постулируется геометрическая структура пространства скоростей. Каждая точка такого пространства соответствует некоторой инерциальной системе отсчёта, а расстояние между двумя точками — модулю относительной скорости между ИСО. В силу принципа относительности все точки такого пространства должны быть равноправными, а, следовательно, пространство скоростей является однородным и изотропным. Если его свойства задаются римановой геометрией, то существует три и только три возможности: плоское пространство, пространство постоянной положительной и отрицательной кривизны. Первый случай соответствует классическому правилу сложения скоростей. Пространство постоянной отрицательной кривизны (пространство Лобачевского) соответствует релятивистскому правилу сложения скоростей и специальной теории относительности. Групповой подход
Преобразования от одной системы отсчета к другой можно построить на аксиоматической основе, без уточнения структуры пространства-времени. Для этого вводят понятие множества «событий» . Инерциальные системы отсчета представляют собой некоторые отображения (взаимно-однозначные) «событий» в — в четырехмерное арифметическое пространство. Первые три числа — пространственные компоненты, последняя — время. Среди подмножеств выделяются инерциальные движения , которые определяются как подмножества, которые отображаются (при отображении ) в векторы, пространственные компоненты которого связанны с временной следующим образом , где коэффициенты — константы. В частности, если все , то имеем покоящееся «инерциальное движение» (покоящееся тело). Собственно сами преобразования от системы к представляют собой композицию . Далее необходимо формализовать понятие движения одной ИСО относительно другой. Говорят, что покоится относительно S если «покоящееся тело» в также покоится и в . В противном случае говорят, что движется относительно . В первую очередь предполагается, что существуют ИСО, движущиеся относительно друг друга (аксиома 1). Далее определим линейное преобразование в , пространственная часть матрицы которой которой представляет собой ортогональное преобразование, а из временной (четвертая строка и четвертый столбец) диагональный элемент равен 1, остальные нулю. Назовем это преобразование «пространственным поворотом» (чем он по сути и является). Предполагается (аксиома 2а), что для всякой системы отсчета существует система , преобразование к которой представляет собой некоторый пространственный поворот , в частности (аксиома 2б), если покоится относительно некоторой системы , то соответствующее преобразование является некоторым пространственным поворотом. Кроме этого, предполагается (аксиома 3), что для всякого инерциального движения существует другое инерциальное движение , которое отображается в данной системе отсчета одинаково с точностью до некоторого пространственного поворота. Наконец еще одно предположение (аксиома 4) заключается в том что для всякого преобразования между некоторыми инерциальными системами и для произвольной системы найдется такая система отсчета , что преобразование от к тождественно преобразованию . Оказывается такая система аксиом приводит к тому что группа преобразований может быть либо галилеевой, либо имеет вещественный параметр , что совпадает с неоднородной группой Лоренца. Следствия преобразований Лоренца
Сложение скоростей
Непосредственным следствием преобразований Лоренца является релятивистское правило сложения скоростей. Если некоторый объект имеет компоненты скорости относительно системы S и — относительно S', то между ними существует следующая связь: В этих соотношениях относительная скорость движения систем отсчёта v направлена вдоль оси x. Релятивистское сложение скоростей, как и преобразования Лоренца, при малых скоростях ( ) переходит в классический закон сложения скоростей. Если объект движется со скоростью света вдоль оси x относительно системы S, то такая же скорость у него будет и относительно S': . Это означает, что скорость является инвариантной (одинаковой) во всех ИСО. Замедление времени
Релятивистское замедление времени
Если часы неподвижны в системе , то для двух последовательных событий имеет место . Такие часы перемещаются относительно системы по закону , поэтому интервалы времени связаны следующим образом:
Важно понимать, что в этой формуле интервал времени измеряется одними движущимися часами . Он сравнивается с показаниями нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе , мимо которых движутся часы . В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных часов. С этим эффектом связан так называемый парадокс близнецов. Если часы движутся с переменной скоростью относительно инерциальной системы отсчёта, то время, измеряемое этими часами (т. н. собственное время) может быть вычислено по следующей формуле: где при помощи интегрирования суммируются интервалы времени в локально инерциальных системах отсчёта (т. н. мгновенно сопутствующих ИСО). Относительность одновременности
Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта , то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы . При из преобразований Лоренца следует
Если , то и .
Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого . Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве. С точки зрения системы S С точки зрения системы S' Пусть в двух системах отсчёта вдоль оси x расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время. Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе S. Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в S' (правый рисунок). Сокращение линейных размеров
Лоренцево сокращение
Если длину (форму) движущегося объекта определять при помощи одновременной фиксации координат его поверхности, то из преобразований Лоренца следует, что линейные размеры такого тела относительно «неподвижной» системы отсчёта сокращаются: , где — длина вдоль направления движения относительно неподвижной системы отсчёта, а — длина в движущейся системе отсчёта, связанной с телом (т. н. собственная длина тела). При этом сокращаются продольные размеры тела (то есть измеряемые вдоль направления движения). Поперечные размеры не изменяются. Такое сокращение размеров ещё называют лоренцевым сокращением. При визуальном наблюдении движущихся тел дополнительно к лоренцевому сокращению необходимо учитывать время распространения светового сигнала от поверхности тела. В результате быстро движущееся тело выглядит повёрнутым, но не сжатым в направлении движения. Эффект Доплера
Пусть источник, движущийся со скоростью v, излучает со скоростью света периодический сигнал, имеющий частоту . Эта частота измеряется наблюдателем, связанным с источником (т. н. собственная частота). Если этот же сигнал регистрируется «неподвижным» наблюдателем, то его частота будет отличаться от собственной частоты: где — угол между направлением на источник и его скоростью. Различают продольный и поперечный эффект Доплера. В первом случае , то есть источник и приёмник находятся на одной прямой. Если источник движется от приёмника, то его частота уменьшается (красное смещение), а если приближается, то частота увеличивается (синее смещение): Поперечный эффект возникает, когда , то есть направление на источник перпендикулярно его скорости (например, источник «пролетает над» приёмником). В этом случае непосредственно проявляется эффект замедления времени: Аналога поперечного эффекта в классической физике нет, и это чисто релятивистский эффект. В отличие от этого, продольный эффект Доплера обусловлен как классической составляющей, так и релятивистским эффектом замедления времени. Аберрация
Аберрация света является видимым смещением объекта при относительном движении наблюдателя и этого объекта. Пусть в системе отсчёта S' источник света неподвижен, и находится под углом к оси x'. Тогда в системе S, относительно которой система S' движется вдоль оси x со скоростью v, направление на этот источник света составит угол . В соответствии с релятивистским правилом сложения скоростей, эти два угла связаны следующим образом: где . Релятивистская динамика
Релятивистский лагранжиан
В классической механике законы движения можно вывести из вида лагранжиана механической системы на основе принципа наименьшего действия. Действие должно быть инвариантом относительно преобразований ИСО. Таким свойством обладает — интервал. Следовательно, общий вид действия в релятивистской механике Соответственно, лагранжиан должен быть равен: Параметр необходимо определить из соображений совпадения (с точностью до константы) с лагранжианом свободной частицы классической механикой при малых скоростях (который равен просто кинетической энергии). Исходя из этого можно показать лагранжиан свободной релятивистской частицы имеет вид: На основе этого лагранжиана можно вывести динамику релятивистской частицы исходя из классический определений понятий через лагранжиан и уравнений Эйлера-Лагранжа. Энергия и импульс
Релятивистский и классический импульс, m=1 Если частица с массой (покоя) движется со скоростью , то её энергия и импульс имеют следующую зависимость от скорости: Эти соотношения обобщают классические выражения для энергии и импульса, получающиеся в результате разложения в ряд по : При нулевой скорости энергия частицы называется энергией покоя: . В современной физической литературе принято, что m — масса частицы не зависит от скорости, являясь инвариантом относительно преобразований Лоренца, и является величиной неаддитивной (то есть масса тела, состоящего из нескольких частей, в отличие от классической механики, не равна сумме масс этих частей). Понятие «релятивистской массы», зависящей от скорости не используется , хотя оно и встречается в ранних работах по теории относительности. Историческая причина введения этого понятия была связана с попытками сохранить для релятивистского импульса классическую форму: . При приближении скорости тела к скорости света его энергия и импульс стремятся к бесконечности. Это одна из причин, по которой «обычные» объекты не способны двигаться быстрее скорости света. Для частицы с ненулевой массой даже достижение скорости света потребует затраты бесконечной энергии. Заметные отклонения от классических выражений для энергии и импульса происходят при скоростях, близких к скорости света. Если скорости относительно невелики, то отклонения от классической динамики незначительны. Например, при скорости u=c/4 относительная разница релятивистского и классического импульса составляет всего 3 %. Между релятивистской энергией и импульсом существуют следующие связи: Эти формулы остаются справедливыми и для объектов, движущихся со скоростью света. В этом случае их масса покоя должна быть равна нулю . Преобразования энергии и импульса
Аналогично преобразованиям Лоренца для времени и координат релятивистские энергия и импульс, измеренные относительно различных инерциальных систем отсчёта, связаны аналогичными соотношениями: где компоненты вектора импульса равны . Относительная скорость и ориентация инерциальных систем отсчёта S, S' определены так же, как и в преобразованиях Лоренца. Уравнения движения Действующая на тело сила изменяет его импульс. Поэтому второй закон Ньютона в форме остаётся справедливым также и в теории относительности. Однако производная по времени берётся от релятивистского импульса, а не от классического. Это приводит к тому, что связь силы и ускорения существенно отличается от классической: Первое слагаемое содержит «релятивистскую массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует перпендикулярно скорости. В ранних работах по теории относительности её называли «поперечной массой». Именно её «рост» наблюдается в экспериментах по отклонению электронов магнитным полем. Второе слагаемое содержит «продольную массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует параллельно скорости: Как было отмечено выше, эти понятия являются устаревшими и связаны с попыткой сохранить классическое уравнение движения Ньютона . Скорость изменения энергии равна скалярному произведению силы на скорость тела: Это приводит к тому, что, как и в классической механике, составляющая силы, перпендикулярная к скорости частицы, не изменяет её энергию (например, магнитная составляющая в силе Лоренца). Ковариантная формулировка
Метрический тензор
Расстояние между двумя бесконечно близкими событиями можно записать при помощи метрического тензора в тензорном виде: где , а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 0 до 3. В инерциальных системах отсчёта с декартовыми координатами метрический тензор имеет следующий вид: Кратко эта диагональная матрица обозначается таким образом: . Выбор недекартовой системы координат (например, переход к сферическим координатам) или рассмотрение неинерциальных систем отсчёта приводит к изменению значений компонент метрического тензора, однако его сигнатура остаётся неизменной. В рамках специальной теории относительности всегда существует глобальное преобразование координат и времени, которое делает метрический тензор диагональным с компонентами . Эта физическая ситуация соответствует переходу в инерциальную систему отсчёта с декартовыми координатами. Другими словами, четырёхмерное пространство-время специальной теории относительности является плоским (псевдоевклидовым). В отличие от этого, общая теория относительности (ОТО) рассматривает искривлённые пространства, в которых метрический тензор никаким преобразованием координат нельзя привести к псевдоевклидовому виду во всём пространстве, но сигнатура тензора сохраняется такой же. 4-вектор Соотношения СТО могут быть записаны в тензорном виде при помощи введения вектора с четырьмя компонентами (цифра или индекс вверху компоненты является её номером, а не степенью!), которые при переходе от одной инерциальной системы к другой преобразуются аналогично преобразованиям Лоренца. Нулевую компоненту 4-вектора называют временно́й, а компоненты с индексами 1,2,3 — пространственными. Они соответствуют компонентам обычного трёхмерного вектора, поэтому 4-вектор обозначается также следующим образом: . Компоненты 4-вектора, измеренные относительно двух инерциальных систем отсчёта, движущихся с относительной скоростью , связаны друг с другом следующим образом: Примерами 4-векторов являются: 4-координаты — точка в псевдоевклидовом пространстве-времени: 4-скорость: 4-импульс (энергия-импульс): . Аналогичным образом можно определить 4-ускорение: и 4-силу: . При помощи метрического тензора можно ввести т. н. ковекторы, которые обозначаются той же буквой, но с нижним индексом: Для диагонального метрического тензора с сигнатурой , ковектор отличается от 4-вектора знаком перед пространственными компонентами. Так, если , то . Свёртка вектора и ковектора является инвариантом — имеет одинаковое значение во всех инерциальных системах отсчёта: Для 4-координат — инвариантом является интервал, для 4-скорости — квадрат скорости света, для 4-импульса (энергии-импульса)- это величина, пропорциональная квадрату массы (покоя): . Экспериментальные основания СТО
Теория относительности является логически непротиворечивой теорией. Это означает, что из её исходных положений нельзя логически вывести некоторое утверждение одновременно с его отрицанием. Поэтому множество так называемых парадоксов (подобных парадоксу близнецов) являются кажущимися. Они возникают в результате некорректного применения теории к тем или иным задачам, а не в силу логической противоречивости СТО. Справедливость теории относительности, как и любой другой физической теории, в конечном счёте, проверяется эмпирически. Специальная теория относительности лежит в основе всей современной физики. Поэтому какого-либо отдельного эксперимента, «доказывающего» СТО, нет. Вся совокупность экспериментальных данных в физике высоких энергий, ядерной физике, спектроскопии, астрофизике, электродинамике и других областях физики согласуется с теорией относительности в пределах точности эксперимента. Например, в квантовой электродинамике (объединение СТО, квантовой теории и уравнений Максвелла) значение аномального магнитного момента электрона совпадает с теоретическим предсказанием с относительной точностью . Фактически СТО является инженерной наукой. Её формулы используются при расчёте ускорителей элементарных частиц. Обработка огромных массивов данных по столкновению частиц, двигающихся с релятивистскими скоростями в электромагнитных полях, основана на законах релятивистской динамики, отклонения от которых обнаружено не было. Поправки, следующие из СТО и ОТО, используются в системах спутниковой навигации (GPS, ГЛОНАСС). СТО лежит в основе ядерной энергетики и т. д. Всё это не означает, что СТО не имеет пределов применимости. Напротив, как и в любой другой теории, они существуют, и их выявление является важной задачей экспериментальной физики. Например, в теории гравитации Эйнштейна (ОТО) рассматривается обобщение псевдоевклидового пространства СТО на случай пространства-времени, обладающего кривизной, что позволяет объяснить большую часть астрофизических и космологических наблюдаемых данных. Существуют попытки обнаружить анизотропию пространства и другие эффекты, которые могут изменить соотношения СТО. Однако необходимо понимать, что если они будут обнаружены, то приведут к более общим теориям, предельным случаем которых снова будет СТО. Точно так же при малых скоростях верной остаётся классическая механика, являющаяся частным случаем теории относительности. Вообще, в силу принципа соответствия, теория, получившая многочисленные экспериментальные подтверждения, не может оказаться неверной, хотя область её применимости может быть ограничена. Ниже приведены только некоторые эксперименты, иллюстрирующие справедливость СТО и её отдельных положений. Релятивистское замедление времени
То, что время движущихся объектов течёт медленнее, получает постоянное подтверждение в экспериментах, проводимых в физике высоких энергий. Например, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе в CERN [24] с точностью увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. В данном эксперименте скорость мюонов была равна 0.9994 от скорости света, в результате чего время их жизни увеличилось в 29 раз. Этот эксперимент важен также тем, что при 7-метровом радиусе кольца ускорение мюонов достигало значений от ускорения свободного падения. Это, в свою очередь, свидетельствует о том, что эффект замедления времени обусловлен только скоростью объекта и не зависит от его ускорения. Измерение величины замедления времени проводилось также с макроскопическими объектами. Например, в эксперименте Хафеле — Китинга проводилось сравнение показаний неподвижных атомных часов, и атомных часов, летавших на самолёте. Независимость скорости света от движения источника
На заре возникновения теории относительности определённую популярность получили идеи Вальтера Ритца о том, что отрицательный результат опыта Майкельсона может быть объяснён при помощи баллистической теории. В этой теории предполагалось, что свет со скоростью излучается относительно источника, и происходит сложение скорости света и скорости источника в соответствии с классическим правилом сложения скоростей. Естественно, эта теория противоречит СТО. Астрофизические наблюдения являются убедительным опровержением подобной идеи. Например, при наблюдении двойных звёзд, вращающихся относительно общего центра масс, в соответствии с теорией Ритца происходили бы эффекты, которые на самом деле не наблюдаются (аргумент де Ситтера). Действительно, скорость света («изображения») от звезды, приближающейся к Земле, была бы выше скорости света от удаляющейся при вращении звезды. При большом расстоянии от двойной системы более быстрое «изображение» существенно обогнало бы более медленное. В результате видимое движение двойных звёзд выглядело бы достаточно странным, что не наблюдается. Иногда встречается возражение, что гипотеза Ритца «на самом деле» верна, но свет при движении сквозь межзвёздное пространство переизлучается атомами водорода, имеющими в среднем нулевую скорость относительно Земли, и достаточно быстро приобретает скорость . Однако, если бы это было так, возникала бы существенная разница в изображении двойных звёзд в различных диапазонах спектра, так как эффект «увлечения» средой света существенно зависит от его частоты . В опытах Томашека (1923 г.) при помощи интерферометра сравнивались интерференционные картины от земных и внеземных источников (Солнце, Луна, Юпитер, звёзды Сириус и Арктур). Все эти объекты имели различную скорость относительно Земли, однако смещения интерференционных полос, ожидаемых в модели Ритца, обнаружено не было. Эти эксперименты в дальнейшем неоднократно повторялись. Например, в эксперименте Бонч-Бруевича А. М. и Молчанова В. А. (1956 г.) измерялась скорость света от различных краёв вращающегося Солнца. Результаты этих экспериментов также противоречат гипотезе Ритца . Независимость скорости света от скорости источника регистрируется и в наземных экспериментах. Например, проводилось измерение скорости пары фотонов, возникающих при аннигиляции электрона и позитрона, центр масс которых двигался со скоростью, равной половине скорости света. С экспериментальной точностью 10 % сложение скорости света и скорости источника обнаружено не было . Исторический очерк
История теории относительности
Связь с другими теориями
Гравитация
Общая теория относительности
Для описания гравитации разработано особое расширение теории относительности, в котором допускается кривизна пространства-времени. Тем не менее, динамика даже в рамках СТО может включать гравитационное взаимодействие, пока потенциал гравитационного поля много меньше . Следует также заметить, что специальная теория относительности перестает работать в масштабах всей Вселенной, требуя замены на ОТО. Классическая механика
Теория относительности входит в существенное противоречие с некоторыми аспектами классической механики. Например, парадокс Эренфеста показывает несовместимость СТО с понятием абсолютно твёрдого тела. Надо отметить, что даже в классической физике предполагается, что механическое воздействие на твёрдое тело распространяется со скоростью звука, а отнюдь не с бесконечной (как должно быть в воображаемой абсолютно твёрдой среде). Квантовая механика
Специальная теория относительности (в отличие от общей) полностью совместима с квантовой механикой. Их синтезом является релятивистская квантовая теория поля. Однако обе теории вполне независимы друг от друга. Возможно построение как квантовой механики, основанной на нерелятивистском принципе относительности Галилея (см. уравнение Шрёдингера), так и теорий на основе СТО, полностью игнорирующих квантовые эффекты. Например, квантовая теория поля может быть сформулирована как нерелятивистская теория. В то же время такое квантовомеханическое явление, как спин, последовательно не может быть описано без привлечения теории относительности (см. Уравнение Дирака). Развитие квантовой теории всё ещё продолжается, и многие физики считают, что будущая полная теория ответит на все вопросы, имеющие физический смысл, и даст в пределах как СТО в сочетании с квантовой теорией поля, так и ОТО. Скорее всего, СТО ожидает такая же судьба, как и механику Ньютона — будут точно очерчены пределы её применимости. В то же время такая максимально общая теория пока является отдалённой перспективой Всем кто дочитал до конца и жаждет математики, эта ссылка
Этот эксперимент важен также тем, что при 7-метровом радиусе кольца ускорение мюонов достигало значений10^18 от ускорения свободного падения. Это, в свою очередь, свидетельствует о том, что эффект замедления времени обусловлен только скоростью объекта и не зависит от его ускорения." Какое ускорение?, радиальное? Скорость тела вторичный параметр, если он выходит на первый план, то это означает только одно: скорость не является относительной, и приобретает абсолютный характер, это свидетельствует о наличии абсолютной системы отсчета! Что то здесь неверно! Нужно разобраться!
"время жизни мюонов в кольцевом ускорителе в CERN с точностью 2^10^-3увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. В данном эксперименте скорость мюонов была равна 0.9994 от скорости света, в результате чего время их жизни увеличилось в 29 раз. Этот эксперимент важен также тем, что при 7-метровом радиусе кольца ускорение мюонов достигало значений10^18 от ускорения свободного падения. Это, в свою очередь, свидетельствует о том, что эффект замедления времени обусловлен только скоростью объекта и не зависит от его ускорения." Время жизни мюона каким было, таким и осталось: 2,2 микросекунды а время 63.8мск, это время "жизни" собственного пространства ускоренного мюона! После распада этого пространства, ровно через 2,2мск- мюон "умрет"!! Этот эксперимент, может быть он и важен, но уважаемые физики: прежде чем заиметь такую скорость нужно ускоряться и "много, много раз" причем именно "образом" пинка, ведь не будете же Вы отвергать факт, что в Ваших ускорителях, процесс ускорения отнюдь "не плавное течение" А следуя этому направлению мы опять приходим к Преобразованиям Лоренца и, к необходимости введения собственного пространства движущегося тела! И поправка к понятию системы отсчета: система координат, тело и собственное пространство, со всеми вытекающими следствиями!
Вынужден выложить материал по СТО из Википедии, это не сама теория, это практически ее комментарий и, тем не менее общее представление можно получить. Правда, пришлось убрать всю математику, по причине, что все формулы в формате рисунка! Ищите между строк, для подготовленных читателей, это не проблема! Материал полезен тем, что много отступлений от математического аппарата в сторону физического содержания процессов. Не так много, но присутствует! Возможно, позже- произведу наполнение математикой.
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ]
Озарение.
0